Maxima: компьютерная алгебра и символьные вычисления в Linux

Чудище обло, озорно, огромно, стозевно и лаяй.

В начало поста вынесен эпиграф к книге «Путешествие из Петербурга в Москву» Александра Николаевича Радищева (1749-1802), что в переводе означает "Чудовище тучное, гнусное, огромное, стозевное и лающее". Это, пожалуй, самый точный* "портрет" системы символьных вычислений Maxima после логичности, простоты и превосходной документации Maple.


В инженерной практике очень часто бывает необходимо по-быстрому взять интеграл, продифференцировать длинное и занудное выражение, сложить пару километровых матриц или ещё чего по мелочи. Делать это от руки, хотя и можно, но лениво - вот тут нам и пригодится система компьютерной алгебры Maxima, которая есть в любом уважающем себя дистрибутиве.

Установка Maxima
Скачивать Maxima с варёзных сайтов, в отличие от Maple, не надо (а если всё-таки надо, скачать Maxima бесплатно можно на официальном сайте). В Debian просто устанавливаем:

aptitude install wxmaxima maxima

Стоит подчеркнуть, что без wxmaxima, которая предоставляет возможность копирования результатов в LaTeX, автозакрытия двоеточием и форматированным выводом, сама Maxima почти бесполезна и крайне раздражает своим невменяемым интерфейсом - настолько, что чаще сделать всё от руки проще и быстрее.


Графическая оболочка сильно выправляет ситуацию с идиотскими косяками текстового режима и делает Maxima в целом съедобной. В конце команды не забываем написать точку с запятой, если работаем с консольным интерфейсом. В графической среде это сделают за нас.


Выход из Maxima
Это достойно интерфейса одного текстового редактора, который пищит и всё портит. Чтобы выйти из Maxima, нужно дать команду:

quit();

Как признаётся даже официальная документация, "This is a bit confusing for new users, but you must type that full command". Почему бы не наступить на горло собственной песне и сделать хотя бы вот это просто и пряморуко, автор понять не в силах. Опять-таки, графический интерфейс всё делает за нас.


Простые вычисления
Вот есть у нас выражение типа x^2 , и мы хотим его вычислять, меняя x. Это достигается следующей хитроумной конструкцией:

(%i2) at (x^2, [x=7]);
(%o2) 49
(%i3)


Или ещё. Если мы хотим упрощать что-то вроде a - b + 2*a то Maxima это надо разжевать, положить в ротик, залить кипяточком и хорошенько пнуть:

(%i19) K(s):= s^2+2;
(%i22) expand(K(s)-s^2);
(%o22) 2

То есть функция eval тут не проходит, обязательно expand. И функцию объявляем с явным прописыванием переменной вот так: K(s):= s^2+2;

Ну и наконец, как выглядит мнимая единица в Maxima? Вот как:
(%i12) (0.1*%i)^2;
(%o12) -0.01

То есть i это в Maxima вот так: %i



Матрицы
Так как по роду приходится иметь дело с линейной алгеброй и (отчасти) символьными вычислениями, приходится иметь дело с оценкой свойств матриц. В силу того, что я ленивый и несколько забывчивый, мне приходится использовать Maxima с её откровенно наркоманским интерфейсом считать матрицы, особенно если они параметрические.

Определение матрицы

(%i16) A: matrix([1,e],[3,4]);
[ 1  e ]
(%o16)
[      ]
[ 3  4 ]

То есть строки набиваются через [], разделение строк и каждого элемента - запятая.

Простейшие операции с матрицами
Например, нужно нам матрицу умножить саму на себя, но это будет параметрическая матрица:

(%i1) A: matrix([a,b],[c,d]);
[ a  b ]
(%o1)                            [      ]
[ c  d ]

Теперь умножим матрицу саму на себя. Казалось бы, это очевидно: K*K даст желаемый результат:

(%i15) K*K;
[  2   2 ]
[ a   b  ]
(%o15)
[        ]
[  2   2 ]
[ c   d  ]

Однако это вызывает удивлённую реакцию в формате "что за ...?". Дело в том, что очевидное у пользователей и у программистов Maxima разное, и операция K*K даст нам поэлементное умножение матрицы. А чтобы получить обычное матричное умножение (строка на столбец), используем операцию K.K и получаем:

(%i16) K.K;
[             2                 ]
[ b c + a    b d + a b ]
(%o16) [                                  ]
[                      ]
[ c d + a c  d  + b c  ]

искомое умножение матриц. Подсыпаем ещё подосиновиков в турбокальян, и, попыхивая чёрным дымом, медленно двигаемся дальше.



Упрощение\выполнение символических вычислений
Пусть у нас есть перемножение нескольких матриц, ячейки которых содержат параметры. Мы слишком ленивы (и это правильно), чтобы делать это вручную, поэтому попробуем запрячь Maxima на выполнение этого. Например, умножили несколько матриц, и хочется развернуть алгебраическое выражение в каждой ячейке:

(%i21) A*A1.A;
[ c (c c1 + b b1)  b (b c1 + b1 c) ]
(%o21)         [                     ]
[ b (b c1 + b1 c)  c (c c1 + b b1) ]

Тут можно бы предположить, что пройдёт вариант с функцией ev если использовать её как detout:

(%i22) ev A*A1.A;
Incorrect syntax: a is not an infix operatorevSpaceA*^

Тут нас облаяли, но и синтаксис:

(%i22) ev(A*A1.A);
[ c (c c1 + b b1)  b (b c1 + b1 c) ]
(%o22)        [                                                     ]
[ b (b c1 + b1 c)  c (c c1 + b b1) ]

желаемого не даёт. А жаль. Впрочем, Капитан Документация спешит на помощь: нужна функция expand:

(%i23) expand(A*A1.A);
[   2               2                        ]
[ c  c1 + b b1 c  b  c1 + b b1 c ]
(%o23)         [                                                 ]
[    2             2                      ]
[ b  c1 + b b1 c  c  c1 + b b1 c ]

Это сэкономило нам пять минут ручной работы, но прибавило десять минут поиска в документации. Неплохо, бывало и хуже.


Вычисление детерминанта матрицы в Maxima
Это делается сравнительно длинной командой determinant:

(%i17) determinant(A);
(%o17) 4 - 3 e

Автодополнением в консоли даже не думайте пользоваться: оно всё заменит на ЗАГЛАВНЫЕ БУКВЫ и вычислять откажется, что в общем ставит вопрос вменяемости разработчиков ещё острее.

Производные
Для вычисления производных испольуем функцию diff в формате

diff ( f(x), x, k)

где:

• f(x) == дифференцируемая функция
  
• x == переменная, по которой следует дифференцировать
• k == порядок производной (k=1 - первая производная, k=2 - вторая производная)

Учебник математического анализа, возможно, ещё не стёрся из памяти читателя окончательно, так что посмотрим на примеры. Берём первую первую производную от функции 1/(s+1)^2 по переменной s и получаем:

(%i14) diff(1/(s+1)^2,s);
2
(%o14) - --------
3
(s + 1)

Вторая производная от той же функции:

(%i15) diff(1/(s+1)^2,s,2);
6
(%o15) --------
4
(s + 1)

Всё работает правильно.

Преобразование Лапласа
Если вы занимаетесь или изучаете теорию автоматического управления (Control Theory), вам очень даже пригодится прямое и обратное преобразование Лапласа (Laplace Transform)

Для расчёта

(%i8) ilt(1/(1+s^2)^2,s,t);
sin(t) t cos(t)
(%o8) ------ - --------
2 2

(%i6) laplace(1,t,s);
1
(%o6) -
s

Автор недоумевает по поводу отсутствия такой тривиальной вещи в Максиме, как Z-transform. Вроде бы Максиме не полгода, и цифровые контроллеры сейчас вроде как распространены достаточно, чтобы об этом подумать. Но не здесь.

Заключение и дискуссии
В целом: MAXIMA можно пользоваться ТОЛЬКО с графическим интерфейсом, который нужно устанавливать сразу же. Пакет в Debian называется wxmaxima и особенно при первом знакомстве будет очень кстати. Максима страдает обычными опенсорсными болячками: дурная документация и не всегда логичный командный интерфейс. Если же заткнуть нос и уши, поставив wxmaxima, Максимой пользоваться можно с некоторым даже комфортом: вы даже сможете копировать выхлоп Максимы в формате ЛаТеХ.


Ссылки
Имеет место быть, хотя и довольно топорная, но всё-таки официальная документация. В разогретый кальян хорошо бы покрошить ссылки о базовых способах вычислений в Maxima.

У издательства Alt Linux, как выясняется, есть очень неплохая книга Е.А. Чичкарева "Компьютерная математика с Maxima".

Стараниями уважаемых комментаторов нашёлся:

• хороший "10-ти минутный туториал" по Максиме (ин инглиш), есть оный туториал и на русском.
  
• примеры из книжки Maxima by Example,
• ещё примеры (теперь уже на русском).
• подборка из журнала LinuxFormat про Maxima.
• Maxima доступна и онлайн.
• Расчет лабы по физике в Maxima, решение прикладных задач с помощью Maxima.
• рисование графиков в Maxima через "Gnuplot and VTK"(английский).
• Книжка Maxima для физиков [PS]
  
  

Ежели отряды Анонимусов, достигших просветления поболе автора, накидают ещё ссылок, автор их (ссылок, не Анонимусов) вставит в пост с удовлетворением и искреннею радостию.